一、 二次根式的有关概念
1. 二次根式: 形如 的式子叫做二次根式,二次根式有意义的条件是被开放数 ≥0.
2. 最简二次根式: 1被开方数中不含有 . 2被开方数中不含有开得尽方的因数或因式.
例:二次根式 中,是最简二次根式的有____________________ ________.
下列各式中是最简二次根式的是
A B C D
3. 同类二次根式: 几个二次根式化成最简二次根式后,如果 ,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.
例:下面与 是同类二次根式的是
A B C D
下列根式中与 是同类二次根式的是
A B C D
二、 二次根式的性质
1. 非负性：二次根式 中被开方数 ≥0，且 ≥0.
2. ≥0.
3. .
三、 二次根式的运算
1. 乘法公式: ≥0, ≥0.
2. 积的算术平方根: ≥0, ≥0.
3. 除法公式: ≥0, ﹥0.
4. 商的算术平方根: ≥0, ﹥0.
5. 二次根式的加减:二次根式加减时,先将二次根式化成 ,再将 合并.
四、 典例研习
【例1】 x取怎样的数时,下列二次根式有意义?
【变式探究】
1. 在实数范围内有意义,则 的取值范围是 .
2.使式子 无意义的 的取值是 .
3.使式子有意义的x的取值范围是 .
4.能使式子 有意义的 的取值范围是 .
5.若 ,则 的值为______________.
6. ,则 的值为
A B C D
【例2】若 <1,化简 等于
A B C D
【变式探究】
7.计算: .
8.已知 < ,化简二次根式 正确的结果是
A B C D
9.若 ,则 的取值范围为_____________________.
10.实数 在数轴上的点如图所示,
化简 _____________.
11.若 则 _____________.
【例3】计算1 ； 2 .
【变式探究】
12.下列计算中:① ,② ,③ ,④ , ⑤ ,⑥ ,⑦ ,⑧ ,正确的是_____________________________________.填写序号即可
13.计算 ≥ .
14.化简:
1 2 3 4
15.计算:
1 2 3
【综合训练】
1. 实数 在数轴上的点如图所示,
化简 _____________.
2.如图所示,数轴上表示2、 的对应点分别是C、B,
点C是AB的中点，则点A表示的数是 （ ）
A B C D
3.已知 的整数部分为 ,小数部分为 ,则代数式的 值为____________.
4.如果 那么实数 的取值范围是
A B C ≤ ≤ D ≤ ≤
6.已知 ,求 的值.
5.化简:
1 2
其中 ≤ ≤